原题很简单

设 是一个 矩阵, 是其子矩阵, 试证明当 时有

笔者也没学过范数, 不过来问这个题的人对笔者来说还挺重要的, 咋办啊

现学吧

尝试解答

分析

首先把问题分成两个独立的问题, 假设当 为

• 矩阵
• 矩阵

时该命题成立, 则显然原命题成立

一般我们说范数 , 实际上指的其实是从 对于所有 的一组函数

先不证明地给出一个很显然的结论, 对于向量 和其"子向量" , 当 时有

子向量就是一个向量选几项(或者不选)丢掉, 不太严谨(取决于基的选取, 但范数也取决于基)但够用了

要证明的话写出定义, 然后由于求和式里面每一项都是非负的就可以给出不等关系

证明

先证明对于 为 时成立:

由诱导范数的定义

显然 为 的"子向量", 那么由于对于任意 总有

则

故证明完一半了

那么对于 , 有

其中 为 的扩充向量, 即把 在 中删去的列对应的位置补上 , 形式化表达就是

然后显然有 , 我懒得证了, 真显然吧

故

其中可能被略过的步骤:

• 的值域显然是 的能取的值的子集

杂念

这该死的 mathjax 咋不支持 \max 和 \sup 啊, 太讨厌了

---

排查了一下好像不是这俩家伙的问题, 下面这段代码就莫名其妙不行, 真见鬼

$$|a|_a\sup\limits_{a}b_b$$

但是

$$a_a\sup\limits_{a}b_b$$

就能正常显示, 感觉是 | 和 _ 和 \limits_{} 的共同奇妙作用, 可能是两个 _ 优先于其他东西处理了, 不太明白