做题做到这相关的内容了，写一个备忘。

在哪里遇见的

Green 函数最常见于 Poisson 方程（来自静电场的电势求解）

其中 为 的边界上电势 的已知边界条件，常常会用到这种情形下的 Green 函数（这里取 为球心位于有限远处半径趋于无穷的球）

注意到 Green 函数是指定了求解区域 的，不同的 的 Green 函数可能不同

那么，我们得到了电势的表达式（当然，这与我们熟知的结果相同）

为什么呢？这是因为这里的 满足

对这个方程两侧同乘 并对 在 上积分，则可以得到

则得到的 是原方程的一个解，同时由于解的唯一性（可利用 Laplace 算符的相关性质证明) 可说明此为该方程的唯一解

对于不同的边界，例如有限大的球，可以通过电像法等奇妙方式猜得 Green 函数

边界问题

上面的案例通过边界趋于无穷来巧妙避开了这个问题，因为一般电势都要求在无穷远处趋于 0

所以说对于上面提到的 实际上是满足齐次边界 的，那么如果我们的问题的边界是有限的，且边界上的边界条件是非齐次的，阁下又该如何应对？

好在问题始终是线性的，我们采用一贯的思路，将解可以分成齐次与非齐次两个部分的和

其中 满足非齐次方程（Poisson 方程）和齐次边界条件

那么 就可以用上述方法给出

而 则满足齐次方程（Laplace 方程）和非齐次边界条件

注意到我们给出的 有一条重要性质

利用这一条重要性质，我们可以重写非齐次边界条件（记 为对 的 Laplace 算符）

根据 Green 等式

注意到

以及两个边界条件 和

这就把边界上的问题解决了

更进一步的边界问题

注意到上面我们求解的边界是指定函数值的边界，在静电场求解中我们常常还会遇到另一类边界，即指定边界上的函数的导数（或着说，梯度）的另一类边界，观察不难发现，只需要修改相应的 Green 函数，在最后使用 Green 等式后留下的就是另一项 ，从而也可以得到相应的非齐次边界（或者说一般情形下）的解

继续深入

以上的过程中我们可以看到利用 Green 函数这个工具求解特定方程（Poisson 方程）的方便之处，那么这个过程是否可以挪用到其他方程上呢？我们需要对上述过程进行抽象，从而扩大这个方法可以适用的范围

抽象提取特征这个方法相当常用，抽象可以扩大适用范围，但代价是什么呢？

实际上，随着抽象进行，对条件的限制会减少，可以利用的特征也就会减少，增加了产生结论的难度，所以如何把握好结论的简洁性和适用范围两者的平衡是一门相当有趣的学问

问题的抽象

注意到我们将方程右侧化为 函数与其自身的卷积并通过求解方程右侧为 函数的解（也就是 Green 函数）来计算原方程的解（也是通过卷积还原），这个过程中需要我们将卷积操作与方程左侧的 Laplace 算符交换次序（如下式），这一步利用了 Laplace 算符的线性性质

那么这一步对于任意线性算符都是可行的，所以我们可以把关于 Laplace 算符的问题抽象为任意线性算符 的问题，大量算符都是线性的（实在太多就不举例了），这一抽象可以大大扩展 Green 函数法的适用范围

关于到底应该称作算子还是算符，英文都是 operator 的情况下，似乎中文里算符更多见于物理语境下，算子则更多见于数学语境下，wikipedia 上有关于两者区别的介绍，但笔者认为其区别并不特别大，只是理解方式上的差异，不必用“有别于”这种字眼来强调

同时，问题中的自变量数量对问题影响不算特别大，因此可以将三元函数的问题抽象为关于 个自变量的函数，为了方便起见，引入向量记号 来简化表示，即抽象为关于域上 维向量的函数，方便起见，接下来的讨论均在实数域上进行

函数的因变量在保证线性的情况下还可以抽象所考察的域上的向量，但这种情况下 函数和积分的定义已经需要修改扩充，比较繁杂，故接下来的讨论函数的因变量为实数

重述问题

对于关于 的函数方程

其中 为线性算符， 为已知函数

我们可以利用 Green 函数来简化求解过程，假设存在一函数 满足

注意这里使用的记号，为了避免混淆使用了 来避免具体的字母，此处 是一个将 处属于 的一个向量映射为 的函数

其中 为 维 Delta 函数，满足积分定义

且有性质

则可以根据 Green 函数构造一个解

可以带入原方程进行验证

则将原方程求解的问题转化为了求得满足条件的 Green 函数 和计算积分两个问题

对于给定算符常有多个 Green 函数满足条件，此时为了确定 通常还会给出边界条件

笔者到这里有点不太会写了，需要再想想，区域相关的基础知识掌握不牢！

几个例子

四维情况

方程为

相对论电动力学中这类问题较常见，取自然单位制 后线性算符为 d'Alembert 算符

在空间中不存在导体等边界时，这里的边界条件的确定是

TBD